几何 · 勾股定理
为什么是
为什么是
3-4-5？
3² + 4² 不多不少，恰好等于 5²。这不是巧合，也不用背——四块三角形，在一个方框里滑一滑，你就能亲眼看见它为什么成立。
↓往下滚，拆开看看
3² + 4² 不多不少，恰好等于 5²。这不是巧合，也不用背——四块三角形，在一个方框里滑一滑，你就能亲眼看见它为什么成立。
道具自始至终没换过：一个大框，四块一样的三角形。
直角边 a=3、b=4，斜边 c。每块面积 ½ab = 6，四块共 24。再准备一个边长 a+b=7 的大正方形，面积 49。全程就这些道具。
四个直角顶点顶住大框的四个角，四条斜边在中间围出一个洞。洞的每条边都是斜边，长 c；洞每碰到大框边的一点，两块相邻三角形的锐角在那里相遇——这两个锐角本来就是同一个直角三角形里互补的一对，加起来正好 90°，让给洞的角自然也正好是 90°——所以洞是边长 c 的正方形，面积 c²。算一下：49 − 24 = 25。
大框不动，把其中三块平移过去（连转都不用转），两两拼成 a×b 的长方形，挤进两个对角。剩下的空地变成 b×b 和 a×a 两个正方形：16 + 9 = 25。
同一个大框，减去同样的四块三角形——不管怎么摆，剩下的面积都是 49 − 24。所以 c² = a² + b²。跟「3」和「4」没关系：任何直角三角形，换成它的 a、b，同样的摆法照样成立。
这就是勾股定理（毕达哥拉斯定理）。让它凑成整数的组合叫勾股数：3-4-5、5-12-13、8-15-17……《周髀算经》里说「勾三股四弦五」，讲的正是最小的这一组。
把绳子打出 12 段等长的结，围成边长 3、4、5 的三角形，拉直——5 对着的那个角就是标准的直角。传说古埃及人就用这招给金字塔放线。你现在知道它为什么灵了：3² + 4² = 5²。