描述水流的方程，
会失效吗？
我们已经有了描述水流运动的方程。
但会用一条规则，不等于已经证明了它的所有性质。
它一定能永远保持平滑吗？
这里的“平滑”不等于水面平静。即使有复杂的旋涡，速度场也可以平滑；关键是数学模型会不会在有限时间内出现无限大的尖峰等奇异行为。
给水中的每个位置，画一个箭头。
箭头指向水流运动的方向，长度表示速度大小。把各处的箭头合在一起，就得到一个速度场。纳维–斯托克斯方程描述的，就是这个速度场怎样变化。
推进时间试试。在这种特殊水流中，黏性会逐渐抹平相邻水层之间的速度差异。
在同一时刻，比较两种黏性。黏性越大，这组速度差异就消退得越快。这里使用的是模型单位。
跟着一小团水走：时间在变化，它也在进入速度不同的位置，所以自身的速度会变。水流一边运动，一边把运动状态带向别处。
到了三维，旋涡还能被拉长。
刚才那种简单水流没有“涡旋拉伸”。在三维空间里，一段旋转的水流可以沿着自身的轴被拉长。先保持水的体积不变，把一段短粗的涡管拉成长细的涡管，看看它的形状怎样变化。
透明边界圈出的是一段水流，并非实体管壁。
体积不变，把长度拉到原来的 4 倍。半径会变成多少？
拉一拉：长度增加，半径缩小。同样多的水，可以变成很不一样的形状。
*为了单独看清拉伸效应，这个模型暂时忽略黏性，并保持环量不变。在这些假设下，涡管越细，局部旋转越强。真实的纳维–斯托克斯流动还包含黏性，它会使涡量扩散。眼前这个有限大小的涡管只是机制示意，不是完整方程的解，也不是“爆破”的例子。
困难就在这里：拉伸可以增强局部旋转，黏性又会使它扩散。说出这些作用，比证明“所有允许的三维水流都一直平滑”容易得多。严格的二维水流中，没有这种涡旋拉伸机制。
一次模拟成功，离证明还有多远？
有限的精度，有限的时间。
它提供了关于这次模拟的有用证据，却只覆盖了一小部分可能性。色条只是范围的比喻，不代表已完成的百分比。
此后所有时刻，所有空间尺度。
正式题目规定了方程、空间范围和平滑性等条件。另一条获奖路线，是严格构造一个符合官方要求、却无法一直保持所需平滑解的例子。
“我模拟了一种三维水流，运行 60 秒没有出问题。所以，千禧年难题解决了。”
先想想：这份证据究竟覆盖了多大范围？再作出判断。
水流箭头遵守局部规则，三维拉伸带来新的困难。要解决难题，必须证明所有符合条件的水流都能一直保持所要求的平滑性，或者严格给出一个符合官方条件的失效例子。
题目问的是数学模型。水面很乱、出现旋涡、电脑程序崩溃，都不能单独证明方程的解出现了奇点。
截至 2026 年 9 月 8 日核对，克雷数学研究所仍将此题列为未解决。它属于千禧年大奖难题，每个问题设有 100 万美元奖金。
想再深一点：方程与这个精确例子
对于密度恒定、不可压缩的流体，一种归一化写法是 ∂u/∂t + (u · ∇)u = −∇p + ν∇²u + f，同时满足 ∇ · u = 0。其中 u 是速度场，p 是压力除以密度，ν > 0 是运动黏度，f 是单位质量受到的外力。不可压缩意味着一小团水在运动时保持体积，但仍可以改变形状。
第一个实验在周期重复的空间中使用 u = (e^(−νt) sin y, 0, 0)、p = 0、f = 0。这是专门选出的精确解，不是通用流体求解器。它的对流项为零，拉普拉斯项为 −u，时间导数为 −νu，可以直接代入方程核对。沿第三个方向保持不变地延伸，它仍是一个解。一个容易求解的例子，不能回答“所有初始水流”的问题。
涡管的体积满足 体积 = πr²L。长度变成原来的 s 倍而体积不变，就有 r/r₀ = 1/√s。在忽略黏性、涡量均匀、环量守恒的示意中，旋转强度/初始旋转强度 = s。当 s = 4，横截面积变成四分之一，半径变成一半。滑块中没有任何“无穷大”状态。
教师说明、模型边界与原始资料
这是面向 14–17 岁学生的拓展课程，借助箭头、图像、体积，以及“例子和证明”的区别建立直觉，不教授解决这道难题所需的高等数学。“平滑”指速度场、压力场的数学性质，不是肉眼所见的水面平静。第一个模型是可求解的周期剪切流，第二个是忽略黏性的拉伸示意；两者都不是纳维–斯托克斯奇点的证据。
在 Charles Fefferman 撰写的官方题目中，A/B 路线要求在整个三维空间或周期空间内，对所有符合条件的光滑、无散度初始速度场，在没有外力时证明全局平滑解存在。C/D 路线允许指定符合条件的光滑外力，要求证明所需的全局解不存在。空间、衰减或周期性、正则性等条件都不能省略。在相应条件下，二维的全局平滑性已有结果；一般三维问题仍未解决。
背景资料：NASA：纳维–斯托克斯方程（介绍的是更一般的可压缩系统）；MIT：涡旋结构与拉伸（采用无黏性假设）。资料核对日期为 2026 年 9 月 8 日。所有图形均在本地生成，无需向外部发送请求。