代数 · 立方差公式
a³ − b³ 到底等于什么？
课本上写着 a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。中间那个 +ab 像是凭空冒出来的，明明是减法，括号里却全是加号。其实一点都不奇怪：从立方体的角上挖掉一个小立方体，剩下的部分正好切成三块，而这三块共用同一条边。
↓往下滚动，把立方体拆开
课本上写着 a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。中间那个 +ab 像是凭空冒出来的，明明是减法，括号里却全是加号。其实一点都不奇怪：从立方体的角上挖掉一个小立方体，剩下的部分正好切成三块，而这三块共用同一条边。
积木是图像。下面是纸面上的两种写法——以及它们怎样跟三块积木一一对应。
先用 a 去乘，再用 −b 去乘（分配律）。中间四项两两抵消：
当 a = b 时 a³ − b³ = 0，所以 (a − b) 一定是它的因式。添上 −a²b + a²b 和 −ab² + ab²，让 (a − b) 出现三次：
这三项就是三块积木：a²(a − b) 是底下的平板，ab(a − b) 是长条，b²(a − b) 是洞后面那一块。代数里的"添项减项"，就是图里的"切成三块"；而提出 (a − b)，就是把分配律倒过来用。
改变大小，在三种视图之间切换。不管 a 和 b 是多少，剩下的部分总能切成三块厚度为 a − b 的长方体。
边长 a 的立方体挖掉边长 b 的角，正好剩下 a³ − b³ 个小方块——但形状缺了一角，很别扭。
底下的平板 a·a·(a − b)、长条 a·b·(a − b)、小块 b·b·(a − b)。每一块都有一条长 a − b 的边：正好是缺口的深度。
把每块转过来，让 a − b 那条边朝向你，再推到一起。得到一整块 a − b 厚的平板，正面面积 a² + ab + b²。体积 = 厚度 × 正面面积。
这就是立方差公式。第二个括号里三个符号全是 +，因为三块积木全都在那里——图里没有任何东西被减掉两次。
对于立方和，第一个括号变成 (a + b)，第二个括号里只有中间的符号变成减号。（它的图像需要把一个立方体"加"到另一个上——那是另一篇的故事。）
记忆口诀："同、反、正"——第一个符号与原式相同，中间的符号相反，最后一项永远为正。用数字验证：1001 = 10³ + 1³ = 11 × 91。
九道题，全部围绕大家真正会犯的错误：中间多了个负号、忘了先开立方、把 (a − b)³ 当成 a³ − b³……选一个答案，再点点错误选项：每个错误选项都藏着一种具体的失误。
第一次就答对： 0 / 0